Fibonacci

De reeks

In het artikel over de ananas hebben we getallen gevonden: 5, 8 en 13. Dat zijn wat getallen uit de reeks van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, enzovoort, waarbij elk getal steeds de som is van de vorige twee.

Deel een getal uit de reeks door het ervoor staande getal en het levert ongeveer 1,618 op. Deze verhouding tussen die getallen is steeds  1,618033989 met daarachter nog oneindig veel meer cijfers met een herhaling vanaf het 60ste cijfer en wordt het getal phi (Φ) genoemd.

phi
De letter phi

Verwar phi niet met de letter pi (π) die onder andere gebruikt wordt voor het berekenen van omtrekken en oppervlaktes van cirkels. Pi (π) heeft een waarde van 3,141592654 en nog oneindig veel meer niet herhalende cijfers achter de komma.

Phi of fi

Phi heeft nog meer bijzonderheden in zich, waarvan de voornaamste wel is dat de reciproke waarde (1/Φ) gelijk is aan Φ-1. Het is het enige getal waarvoor dit geldt! Als we dit eens in een formule vertalen: 1/Φ=Φ-1. Vereenvoudigd is dit:
Φ2-Φ-1=0, dit is een vierkantsvergelijking.
Herinnering: x=(-b±√(b2-4ac))/2.
Los hiermee Φ op: Φ=(1±√5)/2 . Dit levert twee wortels: 1,618033989 en 0,618033989. De eerste is het getal Φ, de tweede is de reciproke waarde van Φ, dus 1/Φ.

Probeersel

Schrijf eens twee willekeurige getallen op en maak er een reeks van zoals hierboven beschreven voor de reeks van Fibonacci: een getal is steeds de som van de voorgaande 2 getallen, bijvoorbeeld: 27 en 3, samen 30, 30+3=33, 33+30=63, 63+33=96, 159, 255, 414, 669, enzovoort. Deel nu eens de laatste 2 door elkaar: 669/414=1,61594. Dat lijkt al heel aardig op Φ! Hoe langer deze reeks, hoe dichter de verhouding bij Φ komt, ook al is het nooit de echte Φ.

Die verhouding van het getal Φ komt heel veel voor in de natuur: zonnebloemen, lupinen, dahlia’s, bladstanden, enzovoort, enzovoort.
In het artikel over de spiralen en over de “Gulden snede” lees je ook over dit getal.

Een tekenmodel

Tenslotte een model dat sprekend lijkt op de reeks van Fibonacci, alleen is het een tekenmodel in plaats van een cirkelvormige grafiek met poolcoordinaten.
Ik heb deze spiraal gemaakt door een heel klein vierkantje te tekenen, links ernaast een even groot vierkantje, daarboven een vierkantje van 2×2, rechts een van 3×3, daaronder 5×5, links 8×8, enzovoort. Zo steeds rondgaand. De hoekpunten van al die vierkantjes heb ik met een kromme lijn verbonden. In de afbeelding hieronder is dit weergegeven:

phi-spiraal
Spiraal volgens phi

Dit is ook weer de reeks van Fibonacci omdat de zijde van elk vierkantje de som is van de zijden van de vorige 2.

Wat kunnen getallen toch wonderlijk zijn!

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *