Gulden Snede

Definitie

Heel kort en bondig: “een bepaalde verhouding tussen de lengtes van 2 lijnstukken, en wel zo dat de verhouding van het langste deel tot het kortste deel gelijk is aan de verhouding van het hele lijnstuk tot het langste deel.”
Denk aan een lijnstuk in twee ongelijke delen: a voor het langste en b voor het kortste deel. Bovenstaande tekst in formule wordt dan:
a:b=(a+b):a
Dit geeft 2 wortels:
a:b=(1+√5)/2=1,618… en b:a=(1-√5)/2=0,618…
De eerste wortel is het getal Φ (phi, spreek uit fi, zie ook ananas, Fibonacci en spiralen) en de tweede wortelis de reciproke waarde van Φ. De cijfers achter de komma van zowel de eerste als van de tweede wortel zijn gelijk.

Geschiedenis

Maar voor we verder gaan met alle merkwaardigheden van de Gulden Snede eerst even wat geschiedenis:

  • in de tijd van Pythagoras, ruim 500 jaar voor het begin van onze jaartelling, was de merkwaardige verhouding vast al bekend, maar er zijn geen publicaties van;
  • pas in het begin van de 16e eeuw heeft Luca Pacioli het de “Goddelijke Verhouding” genoemd;
  • het woord “Gulden Snede” dateert pas vanaf halverwege de 19e eeuw;
  • in diezelfde tijd werd er ook een kunstzinnige waarde aan gegeven: de mens zou een onbewuste voorkeur hebben voor de verhouding 1:1,618…;
  • oude griekse bouwwerken en beelden lijken gemaakt te zijn volgens deze verhouding, hoewel die toen nog niet eens bekend was.

Constructie 1

Teken een rechte driehoek met zijden van 1 en van 2 eenheden. In de figuur hieronder zijn dat AC en AB.
Cirkel vanuit hoekpunt C de zijde AC af op de schuine zijde BC naar P.
Cirkel vanuit hoekpunt B het punt P af op de rechte zijde AB naar Q

Constructie 1

Het punt Q is nu de Gulden Snede van lijnstuk AB, want:
AB : QB = QB : AQ
Bewijs?
AC=1 en AB=2, dus BC=√5;
omdat CP=AC=1 zijn PB en QB beiden: √5 – 1;
dus AQ = 2 – (√5 – 1) = 3 -√5;
de formule AB : QB = QB : AQ in getallen wordt dan:
2 : (√5 – 1) = (√5 – 1) : (3 – √5);
2 x (3 – √5) = (√5 – 1)2;
6 – 2√5 = 6 – 2√5, links en rechts zijn gelijk, dus is inderdaad punt Q de Gulden Snede van lijnstuk AB!

Constructie 2

Bij de vorige constructie was de lengte van het lijnstuk bekend: AB (we gaven dit de lengte 2).  In de figuur is de lengte van het langste deel bekend en ook deze geven we de lengte 2.

constructie-2
Constructie 2

Teken een vierkant van 2 x 2, verdeel de basis in 2 gelijke delen en trek van hieruit een diagonaal naar een hoekpunt;
cirkel nu deze diagonaal vanaf het middelpunt E om naar het verlengde van de basis: snijpunt F;
punt D is nu de Gulden Snede van lijnstuk AF en de formule wordt dus:
AF : AD = AD : DF
De truc zit hem ook hier weer in die √5 die hier door EC is gevormd.
Het bewijs gaat op dezelfde manier als hierboven bij constructie 1.

Tot zover de Gulden Snede van een lijnstuk. Niet echt spectaculair, maar dat wordt al beter als we de Gulden Snede in het platte vlak zien.

Pentagram

Teken een zuivere vijfpuntige ster (=pentagram) als volgt:

Constructie van een pentagram
  • teken een lijnstuk (AB) met als lengte ongeveer de hoogte van de ster, om preciezer te zijn 5% langer;
  • verdeel het lijnstuk zoals bij constructie 1 is gedaan;
  • het lange stuk (b) van de Gulden Snede is de zijde van de vijfhoek;
  • cirkel dit lange deel vanuit punt Q om;
  • cirkel vanaf punt B het hele lijnstuk (a+b) om;
  • waar deze cirkels elkaar snijden komt het volgende hoekpunt van de vijfhoek;
  • doe ditzelfde voor punt B, zodat de rechterkant van de vijfhoek ontstaat;
  • cirkel vanuit de beide gevonden hoeken lijnstuk b om naar boven;
  • het snijpunt is de top van de vijfhoek;
  • verbindt nu de hoekpunten van de vijfhoek met elkaar om de ster, het pentagram, te krijgen.

In onderstaande figuur is in de vijfhoek het pentagram getekend.
Met rood en blauw zijn de lengtes van de Gulden Snede gemarkeerd.

Pentagram

Het pentagram heeft heel wat bijzonderheden in zich, zoals:

  • de bij elkaar horende rode en blauwe lijnstukken verhouden zich als het getal Φ (phi);
  • de lengte van een sterpunt en de afstand tussen 2 punten van de ster verhouden zich ook als het getal Φ, zoals uit de constructie blijkt;
  • de vijfpuntige ster komt al zo’n 4000 jaar voor het begin van onze jaartelling voor;
  • als de punt boven is dan worden daar goede eigenschappen mee bedoeld,
  • maar als de punt omlaag staat dan zijn het boosaardige eigenschappen;
  • in de vijfhoek in het midden van het pentagram kan een zich oneindig herhalend pentagram getekend worden;
  • in combinatie met goed en kwaad is dit een yin/yang-achtig effect, waarbij het “goede” en het “kwade” elkaar tot in het oneindige opheffen;
  • ook tegenwoordig zijn er mensen die een bijzondere kracht aan het pentagram toekennen;
  • in veel vlaggen komt het pentagram (punt omhoog) voor;
  • eremetaal, zoals het vierdaagse kruisje is vaak een pentagram;
  • alle driehoeken in de ster, ook de kleintjes zijn gelijkvormig met basishoeken van 72° en tophoeken van 36°.
  • De driehoeken van de vijfhoeken zijn ook gelijkvormig met tophoeken van 108° en basishoeken van 36°.

Vitruviusman

Vitruviusman

De architect Vitruvius (1ste eeuw voor het begin van onze jaartelling) was overtuigd van het toepassen van de verhoudingen van het menselijk lichaam in de bouwkunst.
Hij tekende een mens in een vierkant om die verhoudingen te bestuderen.
Later omstreeks 1490 verbeterde Leonardo da Vinci deze tekening tot wat wij nu als de Vitruviusman kennen. Deze tekening is eigendom van Gallerie dell’Academia te Venetië.
Met een beetje fantasie is in de Vituviusman het pentagram te herkennen. Overigens hebben de verhoudingen van het menselijke lichaam helemaal niets met de Gulden Snede te maken…….

De rechthoek

In de figuur bij constructie 1 heb ik rechts ook nog even lijnstuk BR afgetekend loodrecht op AB.
AB is nu de lange zijde en BR de korte zijde van een rechthoek volgens de Gulden Snede.
Een veel snellere manier om van een A4 een Gulden Snede rechthoek te maken is door direct van een A4 papier (=printerpapier) een strookje van 27mm af te snijden, zodat er een vel van 297x183mm (297mm = 183 x Φ) overblijft.
Daar is iets bijzonders mee: knip er een vierkant ter grootte van de korte zijde vanaf. Wat overblijft is opnieuw een Gulden Snede rechthoek.

Rechthoek volgens Gulden Snede

Doe met deze rechthoek hetzelfde en nog eens en weer en weer. Dit gaat door tot in het oneindige, zolang de schaar het maar kan knippen.

Maar het kan ook door te tekenen natuurlijk. En als je dan toch aan het tekenen bent verbindt dan van elk vierkant de overstaande hoekpunten met een soepele lijn.

Spiraal volgens de Gulden Snede

Dit lijkt warempel op de spiraal met de getallen van Fibonacci. Dit komt omdat bij Fibonacci de spiraal van binnen naar buiten getekend is en de getallen steeds een factor Φ groter zijn. Bij de Gulden Snede is van buiten naar binnen gewerkt en is elk vierkant een factor Φ kleiner. Bovendien ben ik links begonnen, waardoor de spiraal gespiegeld is.

“Regel van Derden”

Aan de Gulden Snede worden schoonheids idealen toegschreven, zo is een vlak het mooist gevuld als het aandachtspunt in de verhouding Φ van de beide randen af ligt.
Dit geldt voor alle papierformaten, zelfs voor vierkanten. Veel eenvoudiger is de “regel van derden”: verdeel het vlak zowel horizontaal als verticaal in 3 gelijke delen. Op 1 van de 4 snijpunten komt dan het aandachtspunt te liggen.

regel van derden

Bij de Gulden Snede komen de snijlijnen op 38,2% en 61,8% van de randen (zie de blauwe lijnen in de figuur), bij de Regel van derden op 33% en 66% (zie de zwarte lijnen). Dat scheelt dus niet heel veel van elkaar. Velen zijn het met mij eens dat de “regel van derden” iets fraaier lijkt.

Voor de compositie van een afbeelding zijn er heel veel meer “spelregeltjes”, de vlakverdeling is er maar 1 van.

De derde dimensie

Tot zover had de Gulden Snede betrekking op een lijn of op een plat vlak, maar er is iets meer:

  • Maak 3 vlakken volgens de Gulden Snede, bijvoorbeeld 60x97mm;
  • maak precies in het midden een snee zo lang als de breedte van het vlak (60mm) met een breedte zo groot als de dikte van het papier;
  • schuif de eerste 2 vlakken in elkaar;
  • verleng in het derde vlak de snee in het midden (zonder breedte);
  • schuif nu ook dit derde vlak door de andere 2;
  • en is dit alles te veel van het goede klik dan hier voor een ontwerp.

Er is nu een merkwaardig figuur ontstaan die iets lijkt op de beruchte kraaienpoten van smokkelaars, maar het heeft wel iets bijzonders:

  • de breedte van de vlakjes passen precies in de ribben van een 20-vlak;
  • of anders: de 3 hoekpunten vormen samen de driehoekjes van een 20-vlak;
  • de 3 hoekpunten passen precies in de middens van de vlakken van een 12-vlak.
Gulden Snede: meer dan alleen een verhouding!