Gulden snede

Wat is het?

Heel kort en bondig: “een  verhouding tussen de lengtes van 2 lijnstukken zodat de verhouding van het langste deel tot het kortste deel gelijk is aan de verhouding van het hele lijnstuk tot het langste deel.”
Denk aan een lijnstuk in twee ongelijke delen: a voor het langste en b voor het kortste deel, samen a+b. Bovenstaande tekst in formule wordt dan: a:b=(a+b):a.  Als je dit verder uitwerkt krijg je:
a:b=(1+√5):2=1,618… en b:a=(1-√5):2=0,618…

De eerste is het getal Φ (phi, spreek uit fi, zie ook ananas, Fibonacci en spiralen), de tweede is 1/Φ.

In gewone woorden betekent dit dat je op 0,618 van het einde van een lijnstuk het Gulden Snede punt vindt. Een uitgebreider verhaal kun je hier vinden

Geschiedenis

Maar voor we verder gaan met alle merkwaardigheden van de Gulden Snede eerst even wat geschiedenis:

  • in de tijd van Pythagoras, ruim 500 jaar voor het begin van onze jaartelling, was de merkwaardige verhouding vast al bekend, maar er zijn geen publicaties van;
  • pas in het begin van de 16e eeuw heeft Luca Pacioli het de “Goddelijke Verhouding” genoemd;
  • het woord “Gulden Snede” dateert pas vanaf halverwege de 19e eeuw;
  • in diezelfde tijd werd er ook een kunstzinnige waarde aan gegeven: de mens zou een onbewuste voorkeur hebben voor de verhouding 1:1,618…;
  • oude griekse bouwwerken en beelden lijken gemaakt te zijn volgens deze verhouding, hoewel die toen nog niet eens bekend was.

Constructie 1

Teken een rechte driehoek met zijden van 1 en van 2 eenheden. In de figuur hieronder zijn dat AC en AB.
Cirkel vanuit hoekpunt C de zijde AC af op de schuine zijde BC naar P.
Cirkel vanuit hoekpunt B het punt P af op de rechte zijde AB naar Q

Constructie 1

Het punt Q is nu de Gulden Snede van lijnstuk AB, want:
AB : QB = QB : AQ

Het lijnstuk BR=QB. Dit  betekent dat AB en BR de zijden zijn van een rechthoek in de verhouding van de Gulden Snede.

Tot zover de Gulden Snede van een lijnstuk. Niet echt spectaculair, maar dat wordt al beter als we de Gulden Snede in het platte vlak zien.

Pentagram

Teken een zuivere vijfpuntige ster (=pentagram) zoals hieronder, met rood en blauw zijn hier de lengtes van de Gulden Snede gemarkeerd.

Pentagram

Het pentagram heeft heel wat bijzonderheden in zich, zoals:

  • de bij elkaar horende rode en blauwe lijnstukken verhouden zich als het getal Φ (phi);
  • de vijfpuntige ster komt al zo’n 4000 jaar voor het begin van onze jaartelling voor;
  • als de punt boven is dan worden daar goede eigenschappen mee bedoeld;
  • maar als de punt omlaag staat dan zijn het boosaardige eigenschappen;
  • in de vijfhoek in het midden van het pentagram kan een zich oneindig herhalend pentagram getekend worden;
  • in combinatie met goed en kwaad is dit een yin/yang-achtig effect, waarbij het “goede” en het “kwade” elkaar tot in het oneindige opheffen;
  • ook tegenwoordig zijn er mensen die een bijzondere kracht aan het pentagram toekennen;
  • in veel vlaggen komt het pentagram (punt omhoog) voor;
  • eremetaal, zoals het vierdaagse kruisje is vaak een pentagram;
  • alle driehoeken in de ster, ook de kleintjes zijn gelijkvormig met basishoeken van 72° en tophoeken van 36°.
  • De driehoeken van de vijfhoeken zijn ook gelijkvormig met tophoeken van 108° en basishoeken van 36°.

Vitruviusman

Vitruviusman

De architect Vitruvius (1ste eeuw voor het begin van onze jaartelling) was overtuigd van het toepassen van de verhoudingen van het menselijk lichaam in de bouwkunst.
Hij tekende een mens in een vierkant om die verhoudingen te bestuderen.
Later omstreeks 1490 verbeterde Leonardo da Vinci deze tekening tot wat wij nu als de Vitruviusman kennen. Deze tekening is eigendom van Gallerie dell’Academia te Venetië.
Met een beetje fantasie is in de Vituviusman het pentagram te herkennen. Overigens hebben de verhoudingen van het menselijke lichaam helemaal niets met de Gulden Snede te maken…….

De rechthoek

In de figuur bij constructie 1 heb ik rechts ook nog even lijnstuk BR afgetekend loodrecht op AB, zodat er een Gulden Snede rechthoek ontstaat: de verhouding van de korte tot de lange zijde is 1:1,618…
Een praktischer manier om van een A4 een Gulden Snede rechthoek te maken is door van de breedte van een A4 papier (=printerpapier) een strookje van 27mm af te snijden, zodat er een vel van 297x183mm (183 x Φ= 297) overblijft.
Daar is iets bijzonders mee: knip er een vierkant ter grootte van de korte zijde vanaf, zoals hieronder. Wat overblijft is opnieuw een Gulden Snede rechthoek.

Rechthoek volgens Gulden Snede

Doe met deze rechthoek hetzelfde en nog eens en weer en weer. Dit gaat door tot in het oneindige, zolang de schaar het maar kan knippen.

Maar het kan ook door te tekenen natuurlijk. En als je dan toch aan het tekenen bent verbindt dan van elk vierkant de overstaande hoekpunten met een soepele lijn.

Spiraal volgens de Gulden Snede

Dit lijkt warempel op de spiraal met de getallen van Fibonacci. Dit komt omdat bij Fibonacci de spiraal van binnen naar buiten getekend is en de getallen steeds een factor Φ groter zijn. Bij de Gulden Snede is van buiten naar binnen gewerkt en is elk vierkant een factor Φ kleiner. Bovendien ben ik links begonnen, waardoor de spiraal gespiegeld is.

“Regel van Derden”

Aan de Gulden Snede worden schoonheids idealen toegeschreven, zo is een vlak het mooist gevuld als het aandachtspunt in de verhouding Φ van de beide randen af ligt.
Dit geldt voor alle papierformaten, zelfs voor vierkanten. Veel eenvoudiger is de “Regel van Derden”: verdeel het vlak zowel horizontaal als verticaal in 3 gelijke delen. Op 1 van de snijpunten komt dan het aandachtspunt te liggen,zoals hier de kop van de wesp.

regel van derden

Bij de Gulden Snede komen de snijlijnen op 38,2% en 61,8% van de randen, bij de Regel van derden op 33% en 66%. Dat scheelt dus niet zoveel.

In de foto zie je met zwart de verdeling volgens de “regel van derden” en in blauw de verdeling volgens de Gulden Snede. In veel camera’s kun je “regel van derden” in de zoeker zien.

Voor de compositie van een afbeelding zijn er heel veel meer “spelregeltjes”, de vlakverdeling is er maar 1 van.

Gulden Snede: meer dan alleen een verhouding!

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *