Spiralen

Overal en altijd zijn er spiralen te zien, denk aan draaikolken, slakkenhuizen, dennenappels, lagedruk gebieden, windhozen, zonnebloemen en melkwegstelsels.

spiraalnevel
Messier M51b en M51a melkwegstelsels

Dit is het bekendste melkwegstelsel en het is met een sterke kijker te zien. Het bijzondere is dat het twee stelsels zijn, de spiraal is een twee-armig melkwegstelsel, de witte vlek rechts is een ander melkwegstelsel, maar dan van opzij gezien, de Messier M51b.

Spiralen ontstaan door beweging van bijvoorbeeld water, lucht en zelfs sterren, of het zijn groeiverschijnselen zoals bij zonnebloemen en slakkenhuisjes.

Bij bewegingen zijn het deeltjes die naar 1 punt komen, maar door massa traagheid net het doel niet in 1 keer bereiken en er dan in steeds kleiner wordende spiralen naartoe bewegen. Vaak verlopen deze spiralen volgens een logaritmische kromme.

Bij de groei ontstaan de spiralen doordat niet alleen de lengte groeit maar ook de dikte. Bij slakkenhuisjes goed begrijpbaar, maar ook de groei van planten vertoont dit omdat de zaden of bladen het meest rendementvol gerangschikt zijn in de verhouding van 1:1,61803398……
Zie ook de berichtjes over de ananas en over Fibonacci.

Als voorbeeld hier een slakkenhuisje met heel duidelijk een spiraal. Bij dit uitbouwen groeit de slak rondom het deel dat al gebouwd is.

slakkenhuis
Slakkenhuis

Omdat de slak niet alleen in de lengte maar ook in de dikte groeit wordt de spiraal steeds wijder.

Er zijn trouwens heel veel soorten slakkenhuisjes, zowel links- als rechtsom draaiend, met een tamelijke platte groeiwijze of heel erg spits. En ook zelfs waarbij de groeiringen niet aan elkaar vast zitten.

Diverse spiralen

  • met even brede banen zoals een vinyl grammofoonplaat of een CD;
  • uitwaaierend zoals een hoorn, trompet of het slakkenhuisje hierboven;
  • soepel verlopend zoals het kromme aansluitstuk van de rails bij wissels en de aansluitingen van wegen aan elkaar. In deze gevallen zijn de krommingen delen van een “Cornu”-spiraal;
  • spiralen met dubbele armen. Deze komen in spiraalnevels voor.

Aan de slag

Een spiraal met even brede banen is eenvoudig zelf te tekenen met wat kleine hulpmiddeltjes: maak aan een kurk of een potlood een draadje vast met aan de andere kant van het draadje een ballpen of potlood, hou de kurk midden op een blad papier vast en teken met de ballpen met het gestrekte draadje een lijn rondom de kurk, zodat  de draad zich om de kurk wikkelt.
Zo ontstaat een spiraal die steeds kleiner wordt en met even grote afstanden tussen de banen.
De afstanden tussen de banen is gelijk aan de omtrek van de kurk.

Wat achtergronden bij spiralen

rechte grafiek
Een grafiek met een x- en een y-as. De x-as is verdeeld alsof het graden van een cirkel zijn.

Een spiraal is eigenlijk niets anders dan een gewone x-y grafiek, waarbij de x-as niet recht maar cirkelvormig is. De formule voor een rechte grafiek is y=a∙f(x), waarin f alle mogelijke functies kunnen zijn, zoals vermenigvuldiging, een macht, een wortel, een complexere berekening, enzovoort. Terwijl a een schaalfactor is. In de grafiek is een logaritmische functie getekend: y=ex/600 of x=600∙ln(y).

Bij een cirkelvormige grafiek spreken we van poolcoordinaten en dan gaat de formule over in: r=a∙f(Θ),

poolcoordinaten
Poolcoordinaten. De x-as is gedraaid rondom het middelpunt.

hierin zijn:

  • r = afstand tot het middelpunt, dus eigenlijk de y-as;
  • f = een functie, dit kan net als in de grafiek van alles zijn;
  • Θ = de griekse letter Theta voor de hoek, dit is vergelijkbaar met de x-as. Doordat de x-as cirkelvormig is, kunnen heel lange op- of aflopende reeksen weergegeven worden;
  • a = een schaalfactor zoals bij de grafiek om de grafiek mooi op het papier te krijgen.

Een aantal spiralen

  • een lineaire spiraal, hierbij is de afstand tussen de ringen constant. Deze spiraal wordt ook wel een Archimedes spiraal genoemd met allemaal gelijke afstanden tussen de “ringen” en kan beschreven worden als: r=a∙f(Θ), waarin a de afstand tussen de “ringen” is. Bij een positieve waarde van a en bij een toenemende hoek begint een lineaire spiraal in het centrum en wordt steeds groter tot oneindig (∾) toe. Bij het tekenen met het touwtje is a negatief en loopt de spiraal naar het centrum toe.

    lineaire spiraal
    Lineaire spiraal
  • bij een kwadratische spiraal geldt:  r=aΘ2+bΘ+c  of heel kort: r=aΘ2. Een kwadratische spiraal is een vorm van de exponentiële spiraal: r=aΘb.
    Een kwadratische spiraal is een opgerolde parabool: hij loopt van oneindig tot het toppunt en weer door naar oneindig, hier is alleen 1 paraboolhelft getekend;
  • Een hyperbolische spiraal, zoals in de figuur hieronder, heeft als basisformule: r=a/Θ.
    In deze figuur heeft a een waarde van 1800, dus r=1800/Θ. Deze spiraal begint in het oneindige als Θ=0 en nadert tot 0 als Θ=∞.

    hyperbolische spiraal
    Hyperbolische spiraal

    In deze grafiek is niet tot Θ=∞ getekend, daarom eindigt hij niet in het centrum;

  • een logaritmische spraal heeft als basisformule: r=eΘ/a, hierin is e het grondtal van de natuurlijke logaritme (e=2,718281828459…), als logaritme geschreven wordt dit: Θ=a·ln(r).
    logaritmische spiraal
    Logaritmische spiraal

    Deze spiraal komt veel in de natuur voor, zoals het eerder getoonde slakkenhuisje of de spiraal die een roofvogel maakt bij het jagen op  zijn prooi;

  • een spiraal gebaseerd op de getallenreeks van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, enzovoort. Het maakt voor de vorm niet uit of de reeks getallen door een vaste waarde wordt gedeeld om meer “ringen” te krijgen en ook maakt het niet uit hoe de getallen over de cirkel verdeeld worden, de vorm blijft steeds gelijk en de verhouding tussen gelijksoortige delen van de spiraal is steeds het getal phi.

    fibonacci spiraal
    Fibonacci reeks als spiraal
Word je er niet duizelig van?

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *